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Intuitions mathématiques : Formulation faible

Dans ce billet, je souhaite décrire mon intuition de ce qui est appelé "formulation faible", ce qui me permettra par la suite d'aborder le sujet des éléments finis dans le cadre de la résolution numérique d'équation différentielles. Volontairement, je vais choisir des exemples très concrets afin de décrire le concept. D'autre part, je préviens d'emblée qu'il y aura des abus de notation qui pourront irriter.

On définit le domaine $\Omega = [0,1]\times[0,1]$. Soit $u : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. Soit une seconde fonction $f : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. On cherche à comparer les deux fonctions, et en particulier à savoir si elles sont égales. Si les deux fonctions sont égales, on peut écrire (c'est la formulation forte) : $$u(x,y) = f(x,y) \quad \forall (x,y) \in \Omega$$

La formulation faible repose sur l'utilisation de fonctions tests. Ce terme n'est peut être pas familier mais exprime quelque chose très naturel : quand on souhaite connaître la valeur d'une fonction $u$ en un point $(p,q)$ particulier, on "regarde" la fonction $u$ uniquement en ce point. Mathématiquement, si on défini, par exemple, par $\delta_{p,q}$ une fonction définie sur $\Omega$ qui vaut $0$ partout, sauf au point $(p,q)$ où elle vaut $1$, on peut "regarder" la fonction en ce point particulier de la manière suivante : $$ \int_{\Omega}u \cdot \delta_{p,q}\,\partial\Omega$$

La fonction $u=(x,y)$ regardée en un point donné

Dans cet exemple, on a décidé de "regarder" la fonction $u$ avec une fonction particulière : une fonction test qui s'appelle le Dirac (Wikipedia). Le Dirac est une fonction particulière et on peut "regarder" $u$ avec tout un tas de fonctions très différentes (que nous dénoterons $v$ et qui s'appellent des fonctions test).

Par exemple, on peut se demander ce qu'on obtiendrait en utilisant la fonction constante $v = \frac{1}{|\Omega|}$ ? Faisons le calcul :

$$ \int_{\Omega} u\cdot v \, \partial\Omega = \int_{\Omega} u\cdot \frac{1}{|\Omega|} \, \partial\Omega = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u\, \partial\Omega = \overline{u}$$

On obtient $\overline{u}$ : la moyenne de $u$ ! Bon, j'admet que dans cet exemple, j'ai choisi avec soin la fonction test, mais on commence à comprendre à présent ce qu'il se passe quand on "regarde" la fonction $u$ avec des fonctions de tests $v$ : on obtient une valeur qui décrit $u$ là ou $v$ ne vaut pas $0$ (où aussi appelé le "support" de $v$). Je vous propose maintenant de "regarder" les fonctions $u$ et $f$ à travers les yeux de fonctions $v$ et à les comparer.

Prenons tout d'abord la fonction constante $v = \frac{1}{|\Omega|}$. Que peut-on conclure si $ \int_{\Omega}u\cdot v\, \partial\Omega = \int_{\Omega} f\cdot v\, \partial\Omega $ ? Si vous avez bien suivi : que la moyenne de $u$ et la moyenne de $f$ sont égales. Est-ce suffisant pour conclure que $u(x,y) = f(x,y) \quad \forall (x,y) \in \Omega$ ? Non, absolument pas. Par analogie à des notes de contrôles, ce n'est pas parce que les moyennes de deux contrôles sont les mêmes que les notes de chaque élèves étaient les mêmes pour les deux contrôles. Prenons maintenant la fonction Dirac $v = \delta_{p,q}$ définie plus haut. Que peut-on conclure si $\int_{\Omega}u\cdot v\, \partial\Omega = \int_{\Omega} f\cdot v\, \partial\Omega $ ? Encore une fois, si vous avez bien suivi : que u(p,q) est égal à f(p,q). Est-ce maintenant suffisant pour conclure que $u(x,y) = f(x,y) \quad \forall (x,y) \in \Omega$ ? Non, toujours pas. Encore une fois, par analogie aux notes de contrôles, ce n'est pas parce que Jean-Baptiste a eu les mêmes notes aux deux contrôles que tous les élèves ont eu les mêmes notes aux deux contrôles.

Deux fonctions $u(x,y)$ et $f(x,y)$ différentes qui, "testées" avec une fonction particulière, sont égales


On comprends bien vite qu'il sera difficile de conclure que $u(x,y) = f(x,y) $ si l'on ne prends qu'une seule fonction de test $v$. Mais ... et si on en avait plus qu'une ? Prenons par exemple l'ensemble $V = \{\delta_{p,q}, (p,q)\in \Omega \}$, Cet ensemble regroupe toute les fonctions test Dirac possible dans l'ensemble $\Omega$. Que pourrait-on dire si, pour chaque $v\in V$, $\int_{\Omega}u\cdot v\, \partial\Omega = \int_{\Omega} f\cdot v\, \partial\Omega$ ? Eh bien là c'est beaucoup plus prometteur : Si chaque élève de la classe a eu les mêmes notes aux deux contrôles, alors on peut conclure que les notes des deux contrôles étaient les mêmes !

Sous certaines conditions (par exemple le choix de $V$), la formulation forte est équivalente à une seconde formulation que l'on appelle formulation faible : $$ \underbrace{u(x,y) = f(x,y) \quad \forall (x,y) \in \Omega}_{Formulation forte} \equiv \underbrace{\forall v \in V,\! \int_{\Omega}u\cdot v\, \partial\Omega = \int_{\Omega} f\cdot v\, \partial\Omega}_{Formulation faible}$$